题目内容

设函数f(x)=2cos2ωx+sin(2ωx-
π
6
)+a
(其中ω>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
π
6

(1)求ω的值;
(2)如果f(x)在区间[
π
6
π
3
]
上的最小值为
3
,求a的值.
分析:(1)先利用辅助角公式把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,由五点作图法可知,当函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象位于最高点时,ωx+φ=
π
2
,因为此时x=
π
6
,代入函数解析式,就可求出ω的值.
(2)先根据x的范围求出2x+
π
6
的范围,借助基本正弦函数的单调性,就可带着参数a求出函数f(x)=sin(2x+
π
6
)+1+a
的最小值,再与所给函数的最小值比较,就可求出a的值.
解答:解:(1)由题意f(x)=1+cos2ωx+sin(2ωx-
π
6
)+a

=1+cos2ωx+(sin2ωxcos
π
6
-cos2ωxsin
π
6
)+a
=1+cos2ωx+
3
2
sin2ωx-
1
2
cos2ωx+a
=1+
1
2
cos2ωx+
3
2
sin2ωx+a
=1+sin
π
6
cos2ωx+cos
π
6
sin2ωx+a
=sin(2ωx+
π
6
)+1+a

∵f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
π
6

∴当x=
π
6
时,ωx+φ=
π
2

2ω×
π
6
+
π
6
=
π
2

∴ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+
π
6
)+1+a

π
6
≤x≤
π
3

π
2
≤2x+
π
6
6

∴当2x+
π
6
=
6
时,f(x)min=
1
2
+1+a=
3
2
+a

又∵f(x)在区间[
π
6
π
3
]
上的最小值为
3

3
2
+a
=
3

解之得a=
3
-
3
2

∴a的值为
3
-
3
2
点评:本题主要考查根据三角函数的性质求解析式和最值,关键是先把所给函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助基本正弦函数的性质解决.
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