题目内容

已知方向向量为 $数学公式$ 的直线l过点 $数学公式$ 和椭圆 $数学公式$ 的右焦点，且椭圆的离心率为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足 $数学公式$ ，求实数λ的取值范围．

解：（1）因为直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ 所以直线斜率为k= $\text{[math]}$ ，
又因为直线过点 $\text{[math]}$
所以直线方程为y+2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x
因为a＞b，所以椭圆的右焦点为直线与轴的交点，∴椭圆的右焦点为（2，0），所以c=2
∵e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴a= $\text{[math]}$ ，∴b²=a²-c²=2
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1
（2）由已知设直线MN的方程为x=my+3，
由 $\text{[math]}$ ?（m²+3）y²+6my+3=0，设M．N坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
则y₁+y₂=- $\text{[math]}$ ①y₁y₂= $\text{[math]}$ ②
△=36m²-12（m²+3）＞0?m²＞ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ =（x₁-3，y₁）， $\text{[math]}$ =（x₂-3，y₂）， $\text{[math]}$ ，显然λ＞0且λ≠1
∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂）∴y₁=λy₂，
代入①②得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -2=10- $\text{[math]}$ ，
∵m²＞ $\text{[math]}$ ?2＜ $\text{[math]}$ ＜10? $\text{[math]}$
解得5-2 $\text{[math]}$ ＜λ＜5+2 $\text{[math]}$ 且λ≠1
分析：（1）先利用条件求出直线l的方程，找出椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，就可求出椭圆C的方程：
（2）把直线MN的方程与椭圆方程联立找到关于点M，N纵坐标的方程，再利用 $\text{[math]}$ 所给出的点M，N纵坐标之间的关系，二者联立借助与判别式大于0就可求实数λ的取值范围．
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．还涉及到直线的方程与斜率，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．