题目内容

已知a＞0，a≠1，设P：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；Q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果P和Q有且只有一个正确，求a的取值范围．

答案：
解析：

　　解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞．

　　(1)若P正确，且Q不正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两点，因此a∈(0，1)∩([，1)∪(1，])，即a∈[，1)．

　　(2)若P不正确，且Q正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点，因此a∈(1，＋∞)∩((0，)∪(，＋∞))，即a∈(，＋∞)．

　　综上，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．


练习册系列答案
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已知a＞0且a≠1，设p：函数y=ax在R上单调递增，q：设函数y=
2x-2a，(x≥2a)
2a，(x＜2a)
，函数y≥1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．
（2013•普陀区二模）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．
（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．
已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）试讨论函数F（x）在定义域D上的单调性；
（3）若关于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．
已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
1
1-x
，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

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