题目内容
已知椭圆
的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点F2 ，斜率为
（
）的直线
与椭圆相交于
两点，A为椭圆的右顶点，直线
、
分别交直线
于点
、
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.求证:
为定值.
的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2为的菱形的四个顶点.（1）求椭圆
的方程；（2）过右焦点F2 ，斜率为
（）的直线与椭圆相交于两点，A为椭圆的右顶点，直线、分别交直线于点、，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.(1)
；（2）
为定值
.
；（2）为定值.试题分析：(1)由椭圆两个焦点
和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2为的菱形的四个顶点可得
，从而得到椭圆方程.（2）通过题目条件，将直线方程设出来，再将它与椭圆交点坐标设出来，即点
，点
，再分别表示出直线
、
的方程，令
，得到点,，的坐标，再利用中点坐标公式得到线段的中点为的坐标，利用斜率公式即得到
，通过联立直线与椭圆方程，用韦达定理替换
，
，化简之后即可证明为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的，充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.试题解析：(1)由条件知
， 2分故所求椭圆方程为
. 4分
（2）设过点
的直线
方程为：
，设点，点，将直线
方程代入椭圆
：，整理得：
， 6分因为点
在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，
恒成立，且
8分直线
的方程为：
，直线的方程为：
，令，得点
，
，所以点的坐标
. 9分直线
的斜率为
.
. 11分将
代入上式得：
.所以
为定值. 14分
练习册系列答案
相关题目
焦点在x轴上，左、右焦眯分别为F1，F2，且｜F1F2｜＝2，点P（1，
）在椭圆C上.
的面积为
，求直线l的方程.
·
＝1，｜
｜＝1．
中,点
到两点
的距离之和等于4,设点
,直线
与
两点.
在第一象限,证明当
时,恒有
.
（
）右顶点到右焦点的距离为
，短轴长为
.
的直线与椭圆分别交于
、
两点，若线段
的长为
，求直线
＋
＝1(a>b>0)的焦距为4，且与椭圆x2＋
＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M(0,1)，与椭圆C交于不同的两点A、B.
中，
且
，
. 以
，
为焦点，且过点
的双曲线的离心率为
；以
，
，则
的取值范围为（ ）
，
是长轴的左、右端点，动点
满足
，联结
，交椭圆于点
． 
，
时，设
，求
的值；
满足的条件？并说明理由；