题目内容
已知二次函数f(x)=x2+ax().
(1)若函数y=f(sinx+cosx)()的最大值为,求f(x)的最小值;
(2)当a>2时,求证:f(sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).
(1)若函数y=f(sinx+cosx)()的最大值为,求f(x)的最小值;
(2)当a>2时,求证:f(sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).
(1);(2)见解析.
试题分析:(1)先求的值域,再讨论a的范围,根据最大值,求最小值;(2)利用导数先求sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x的值域,再根据二次函数求结论.
试题解析:(1)令,, 2分
,当a<0时,t=–2时,,
解得:
此时,. 2分
当时,t=2时,,解得:
此时,
综合上述,条件满足时,的最小值为 2分
(2)x∈R,且
又,故设,则有
设(其中t∈(0,1)) 2分
2分
令,得
当时,,所以在(0,)单调递减,
当时,,所以在(,1)单调递增,
时取最小值等于
即有 3分
当a>2时,的对称轴,
上单调递增,
2分
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