题目内容

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( )
A.11或18
B.11
C.18
D.17或18
【答案】分析:根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f(x)=3x2+2ax+b,所以得到:f(1)=3+2a+b=0,又因为f(1)=10,所以可求出a与b的值确定解析式,最终将x=2代入求出答案.
解答:解:f′(x)=3x2+2ax+b,

①当 时,f′(x)=3(x-1)2≥0,∴在x=1处不存在极值;
②当 时,f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)
∴x∈( ,1),f′(x)<0,x∈(1,+∞),f′(x)>0,符号题意.
,∴f(2)=8+16-22+16=18.
故选C.
点评:本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题,这里多注意联立方程组求未知数的思想,本题要注意f′(x)=0是x=x是极值点的必要不充分条件,因此对于解得的结果要检验.
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