Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)；(2)点在以为直径的圆内，证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)由已知条件的值,再写出椭圆方程；(2)要证明点在以为直径的圆内，只需证明为钝角即可,所以求出坐标,判断的符号得出为锐角，从而为钝角.

试题解析：（1）依题意得，，

又，由此解得，，所以椭圆的方程为．

（2）点在以为直径的圆内，证明如下：

由（1）得，，设．

因为点在椭圆上，所以．①

又点异于顶点、，所以．

由、、三点共线可得，

从而，，

所以．②

将①代入②，化简得，

因为，所以，于是为锐角，从而为钝角，

故点在以为直径的圆内．