Question

在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．
（I）求证：DF∥平面ABC；
（II）求证：平面DBE⊥平面ABE；
（III）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中点G，证明FG平行且等于CD，可得四边形FMCD为平行四边形，进而得到DF∥CG，从而证明DF∥平面ABC．
（II）取AB中点G，由（1）可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．
（III）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．

解答：（I）证明：取AB中点G，连线FG、CGF为BE中点，
∴GF∥AE，GF=

1

2

AE，又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，且CD=

1

2

AE，
∴GF∥CD，GF=CD，
∴四边形CDFG为平行四边形
∴DF∥CG，又DF?平面ABC，CG?平面ABC
∴DF∥平面ABC…4分
（II）证明：取AB中点G，由（1）可知四边形CDFG为平行四边形，
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．
又△ABC为正三角形，G为AB中点
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE又CG∥DF，
∴DF⊥平面ABE，
又DF?平面DBE
∴平面DBE⊥平面ABE…8分
（III）解：取AC中点M，连接BM、DM
∵△ABC为正三角形，M为AC中点，
∴BM⊥AC．
又AE⊥平面ABC，AE?平面ACDE
∴平面ACDE⊥平面ABC，
∴BM⊥平面ACDE．
∴∠BDM为所求的线面角．
又因为

△ABC

为正三角形且AB=2，
所以BM=

3

，BC?平面ABC，
所以CD⊥BC，
所以BD=

5

，
所以cos∠BDM=

10

5

故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值

10

5

…14分

点评：本题考查证明线面平行以及面面垂直的判定定理，并且也考查求二面角的平面角的有关知识，找出二面角的平面角是解题的难点和关键．