题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求的单调区间;
(2)设函数,若存在
,对任意的
,总有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)的单调增区间为
,单调减区间为
;(2)实数
的取值范围为
.
【解析】
试题分析:(1)首先确定函数的定义域,进一步对求导,利用导函数与原函数的关系,得到原函数的单调区间;(2)“存在
,对任意的
,总有
成立”等价于“
在
上的最大值不小于
在
上的最大值”进一步,分别求函数
和
在区间
和
上的最大值.
试题解析:(1) ,(此处若不写定义域,可适当扣分)
故.
当
时,
;当
时,
.
的单调增区间为
,单调减区间为
;
(2),则
,
而,故在
上
,即函数
在
上单调递增,
而“存在,对任意的
,总有
成立”等价于“
在
上的最大值不小于
在
上的最大值”
而在
上的最大值为
中的最大者,记为
.
所以有,
,
.
故实数的取值范围为
.
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