Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，短轴一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

（1）设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由离心率e=

c

a

=

3

2

则

c= 3 3 a-c=2-  3 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，c=

3

故所求椭圆的方程为

x2

4

+y2=1，
（2）由（1）知F₁（-

3

，0），设P（x，y），
则

PF 1

•

PF 2

=（-

3

-x，-y）•（

3

-x，-y）=x²+y²-3=

1

4

（3x²-8）
∵x∈[-2，2]，∴0≤x²≤4，
故

PF 1

•

PF 2

∈[-2，1]
故最大值1，最小值-2．