Question

设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若圆心在曲线C上的动圆M过点A（0，2），试证明圆M与x轴必相交，且截x轴所得的弦长为定值．

Answer 1

分析：（1）由题意知，P的轨迹满足抛物线的定义，故可求出抛物线的焦点，继而求出抛物线方程．
（2）待定系数法设出圆的方程，设出圆与x轴的两个焦点E，G的坐标，再根据圆心在抛物线上，将圆心坐标代入抛物线，利用弦长公式及韦达定理可求结论．

解答：解：（1）依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于P到直线y=-1的距离，
曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线
∵

p

2

=1，∴p=2，
∴曲线C方程是x²=4y            …（5分）
（2）设圆心为M（a，b），
∵圆M过A（0，2），
∴圆的方程为 （x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
∵点M（a，b）在抛物线x²=4y上，
∴a²=4b，
∴△=4a²-16b+16＞0
∴圆M与x轴必相交                                    …（9分）
设圆M与x轴的两交点分别为E（x₁，0），G（x₂，0）
∵x₁+x₂=2a，x₁x₂=4b-4
∴|EG|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4a²-16b+16=16
∴|EG|=4
∴当M运动时，弦长|EG|为定值4 …（13分）

点评：本题考查圆与抛物线相交关系的应用，考查了圆的定义，抛物线的定义，以及点的轨迹方程的求法，考查运算求解能力，中等题．