题目内容

(2012•陕西三模)设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(
1
2
,0)
的距离比到y轴的距离大
1
2
.记点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M 在y轴的截得的弦,当M 运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(Ⅲ)过F(
1
2
,0)
作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形面GRHS的最小值.
分析:(1)由动点P(x,y)(x≥0)到定点F(
1
2
,0)
的距离比到y轴的距离大
1
2
,知动点P(x,y)为以F(
1
2
,0)
为焦点,直线l:x=-
1
2
为准线的抛物线,由此能求出点P的轨迹方程.
(2)设圆心M(
a2
2
,a)
,半径r=
(1-
a2
2
)
2
+a2
,圆的方程为(x-
a2
2
)2+(y-a)2=a2+(1-
a2
2
)2
.由此能导出当M运动时弦长BD为定值.
(3)设过F的直线方程为y=k(x-
1
2
)
,G(x1,y1),H(x2,y2)由
y=k(x-
1
2
)
y2=2x
,得k2x2-(k2+2)x+
k2
4
=0
,由此能求出四边形GRHS的面积的最小值.
解答:解:(1))∵动点P(x,y)(x≥0)到定点F(
1
2
,0)
的距离比到y轴的距离大
1
2

∴动点P(x,y)为以F(
1
2
,0)
为焦点,直线l:x=-
1
2
为准线的抛物线,
∴点P的轨迹方程为y2=2x.
(2)设圆心M(
a2
2
,a)
,半径r=
(1-
a2
2
)
2
+a2

圆的方程为(x-
a2
2
)2+(y-a)2=a2+(1-
a2
2
)2

令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2
故弦长BD为定值2.
(3)设过F的直线方程为y=k(x-
1
2
)

G(x1,y1),H(x2,y2),
y=k(x-
1
2
)
y2=2x
,得k2x2-(k2+2)x+
k2
4
=0

由韦达定理得x1+x2=1+
2
k2

GH=2+
2
k2

同理得RS=2+2k2
∴四边形GRHS的面积T=
1
2
(2+
2
k2
)(2+2k2)=2(2+k2+
1
k2
)≥8

故四边形面GRHS的最小值为8.
点评:本题考查点的轨迹方程的求法,探索弦长是否为定值,求四边形面积的最小值.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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