题目内容
(2012•陕西三模)设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(
,0)的距离比到y轴的距离大
.记点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M 在y轴的截得的弦,当M 运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(Ⅲ)过F(
,0)作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形面GRHS的最小值.
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(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M 在y轴的截得的弦,当M 运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(Ⅲ)过F(
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分析:(1)由动点P(x,y)(x≥0)到定点F(
,0)的距离比到y轴的距离大
,知动点P(x,y)为以F(
,0)为焦点,直线l:x=-
为准线的抛物线,由此能求出点P的轨迹方程.
(2)设圆心M(
,a),半径r=
,圆的方程为(x-
)2+(y-a)2=a2+(1-
)2.由此能导出当M运动时弦长BD为定值.
(3)设过F的直线方程为y=k(x-
),G(x1,y1),H(x2,y2)由
,得k2x2-(k2+2)x+
=0,由此能求出四边形GRHS的面积的最小值.
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(2)设圆心M(
a2 |
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(1-
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(3)设过F的直线方程为y=k(x-
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解答:解:(1))∵动点P(x,y)(x≥0)到定点F(
,0)的距离比到y轴的距离大
,
∴动点P(x,y)为以F(
,0)为焦点,直线l:x=-
为准线的抛物线,
∴点P的轨迹方程为y2=2x.
(2)设圆心M(
,a),半径r=
,
圆的方程为(x-
)2+(y-a)2=a2+(1-
)2,
令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2
故弦长BD为定值2.
(3)设过F的直线方程为y=k(x-
),
G(x1,y1),H(x2,y2),
由
,得k2x2-(k2+2)x+
=0,
由韦达定理得x1+x2=1+
,
GH=2+
同理得RS=2+2k2,
∴四边形GRHS的面积T=
(2+
)(2+2k2)=2(2+k2+
)≥8.
故四边形面GRHS的最小值为8.
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∴动点P(x,y)为以F(
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∴点P的轨迹方程为y2=2x.
(2)设圆心M(
a2 |
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(1-
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圆的方程为(x-
a2 |
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令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2
故弦长BD为定值2.
(3)设过F的直线方程为y=k(x-
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G(x1,y1),H(x2,y2),
由
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由韦达定理得x1+x2=1+
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GH=2+
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同理得RS=2+2k2,
∴四边形GRHS的面积T=
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故四边形面GRHS的最小值为8.
点评:本题考查点的轨迹方程的求法,探索弦长是否为定值,求四边形面积的最小值.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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