Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）-f（-x）=0，且f（x）在区间（-∞，0]上递减，且有f（a+1）＞f（2a-1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：该函数是抽象函数，解不等式f（a+1）＞f（2a-1）的关键是脱去“f”，可根据偶函数的性质得到函数在[0，+∞）上的单调性，然后根据单调性进行求解．

解答：解：∵f（x）-f（-x）=0
∴函数f（x）是偶函数，
∴f（a+1）=f（|a+1|），f（2a-1）=f（|2a-1|），
  又f（x）在区间（-∞，0]上单调递减，故函数在[0，+∞）上是增函数
∵f（a+1）＞f（2a-1），
∴f（|a+1|）＞f（|2a-1|）
∴|a+1|＞|2a-1|，
两边平方得（a+1）²＞（2a-1）²即a（a-2）＜0
解得0＜a＜2．
实数a的取值范围0＜a＜2．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，同时考查了转化的数学思想和计算能力，属于中档题．