题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，四边形
是菱形，
，
，E是
上一点，且
，设
.
（1）证明：
平面；
（2）若
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）由已知可得
，
，由直线与平面垂直的判定可得
平面
，得到
，再由
，进一步得到
平面
；
（2）由（1）知，平面，，以O为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设四边形的边长为4，
，由
列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面
与平面
的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
（1）证明：∵四边形是菱形，∴O是
的中点，，
∵，
，∴平面，
∵
平面，∴.
∵
，O是的中点，∴.
∵
平面，
平面，
，
∴平面；
（2）解：由（1）知，平面，.
∴以O为坐标原点，以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设四边形的边长为4，.
∵四边形是菱形，
，∴
与
都是等边三角形.
∴
.
∴
，
，
，
，
，
，
.
∵，∴
，
即
，得
.
∴
，
.
设平面的法向量为
，
由
，取
，得
；
设平面的一个法向量为
，
由
，取
，得
.
设二面角的平面角为
，由图可得，为钝角，
则
.
∴二面角的余弦值为.
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