题目内容
18.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D、E、F分别为AC、AB、AP的中点,M、N分别为线段PC、PB上的动点,且有MN⊥PC.(Ⅰ)求证:DE∥平面FMN;
(Ⅱ)若M是PC的中点,证明:平面FMN⊥平面DMN.
分析 (Ⅰ)证明BC∥MN,DE∥BC,可得DE∥MN,利用线面平行的判定定理证明DE∥平面FMN;
(Ⅱ)证明FM⊥MD,FM⊥MN,可得FM⊥平面DMN,即可证明:平面FMN⊥平面DMN.
解答 (Ⅰ)证明:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴PA⊥BC,
∵AC⊥BC,PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,
∵PC?平面PAC,
∴BC⊥PC,
∵MN⊥PC,
∴BC∥MN,
∵D、E分别为AC、AB的中点,
∴DE∥BC,
∴DE∥MN,
∵DE?平面FMN,MN?平面FMN
∴DE∥平面FMN;
(Ⅱ)∵M是PC的中点,D、F分别为AC、AP的中点,
∴FM∥AC,MD∥PA,
∴FM⊥MD,
∵BC⊥平面PAC,BC∥MN,
∴MN⊥平面PAC,
∵FM?平面PAC,
∴FM⊥MN,
∵MD∩MN=M,
∴FM⊥平面DMN.
∵FM?平面FMN,
∴平面FMN⊥平面DMN.
点评 本题考查线面平行,线面垂直的判定与性质,考查平面与平面垂直,正确运用判定定理是关键.
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