Question

已知

sin2α

sinα

=

8

5

，则cos2（α-

π

6

）的值为

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：由已知得cosα=

4

5

，sinα=±

3

5

，由此利用cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

，cos2（α-

π

6

）=2cos²（α-

π

6

）-1能求出结果．

解答： 解：∵

sin2α

sinα

=

8

5

，
∴

2sinαcosα

sinα

=2cosα=

8

5

，
∴cosα=

4

5

，sinα=±

3

5

，
当sinα=

3

5

时，
cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

4 3 +3

10

，
∴cos2（α-

π

6

）=2cos²（α-

π

6

）-1
=2×（

4 3 +3

10

）²-1
=

7+24 3

50

．
当sinα=-

3

5

时，
cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

4

5

×

3

2

+(-

3

5

)×

1

2

=

4 3 -3

10

，
∴cos2（α-

π

6

）=2cos²（α-

π

6

）-1
=2×（

4 3 -3

10

）²-1
=

7-24 3

50

．
故答案为：

7-24 3

50

或

7+24 3

50

．

点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式和余弦加法定理的合理运用．