题目内容
已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（-π，0），且|
| AC |
| BC |
（2）若
| AC |
| BC |
| 2sin2α+sin2α |
| 1+tanα |
分析：（1）利用点的坐标求出向量的坐标，根据向量模的平方等于向量的平方得到三角函数的关系，据角的范围求出角．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出值．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出值．
解答：解：（1）
=(3cosα-4，3sinα)，
=(3cosα，3sinα-4)
2=25-24cosα，
2=25-24sinα
∵|
|=|
|
∴25-24cosα=25-24sinα
∴sinα=cosα
又α∈（-π，0），
∴α=-
π．
（2）∵
⊥
∴
•
=0
即（3cosα-4）×3cosα+3sinα×（3sinα-4）=0
解得sinα+cosα=
所以1+2sinαcosα=
∴2sinαcosα=-
故
=
=2sinαcosα=-
| AC |
| BC |
| AC |
| BC |
∵|
| AC |
| BC |
∴25-24cosα=25-24sinα
∴sinα=cosα
又α∈（-π，0），
∴α=-
| 3 |
| 4 |
（2）∵
| AC |
| BC |
| AC |
| BC |
即（3cosα-4）×3cosα+3sinα×（3sinα-4）=0
解得sinα+cosα=
| 3 |
| 4 |
所以1+2sinαcosα=
| 9 |
| 16 |
∴2sinαcosα=-
| 7 |
| 16 |
故
| 2sin2α+sin2α |
| 1+tanα |
| 2sinα(sinα+cosα) | ||
|
| 7 |
| 16 |
点评：本题考查向量坐标的求法、向量模的坐标公式、由三角函数值求角、三角函数中的二倍角公式、平方关系．
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