题目内容
已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(
，
)．
（Ⅰ）若
∥
，O为坐标原点，求角α的值；
（Ⅱ）若
⊥
，求
的值．
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（Ⅰ）若
| OC |
| AB |
（Ⅱ）若
| AC |
| BC |
1+
| ||||
| 1+tanα |
分析：（Ⅰ）利用向量共线的坐标运算即可求得角α的值；
（Ⅱ）将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角和与差的正弦函数进行化简，整理即可求得答案．
（Ⅱ）将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角和与差的正弦函数进行化简，整理即可求得答案．
解答：解：依条件有
=（cosα-3，sinα），
=（cosα，sinα-3），
（Ⅰ）由
∥
，得（cosα，sinα）∥（-3，3）⇒-3cosα-3sinα=0，
所以，tanα=-1，
α∈（
，
），
∴α=
．
（Ⅱ）由
⊥
得
•
=0，得cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=0，
解得sinα+cosα=
，两边平方得2sinαcosα=-
，
所以，
=
=
•cosα
=2sinαcosα=-
．
因此，原式=
-．
| AC |
| BC |
（Ⅰ）由
| OC |
| AB |
所以，tanα=-1，
α∈（
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
∴α=
| 3π |
| 4 |
（Ⅱ）由
| AC |
| BC |
| AC |
| BC |
解得sinα+cosα=
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 9 |
所以，
1+
| ||||
| 1+tanα |
=
| sin2α+1-cos2α | ||
1+
|
=
| 2sinαcosα+2sin2α |
| cosα+sinα |
=2sinαcosα=-
| 8 |
| 9 |
因此，原式=
| 8 |
| 9 |
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查向量共线的坐标运算，考查二倍角公式的应用，考查化归运算能力，属于中档题．
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