Question

3．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=-3，则sin²α-3sinαcosα+1的值为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由已知求出tanα，利用sin²α+cos²α=1把sin²α-3sinαcosα+1转化为含有tanα的代数式，代入tanα的值得答案．

解答 解：由tan（$\frac{π}{4}$+α）=-3，得$\frac{tan\frac{π}{4}+tanα}{1-tan\frac{π}{4}•tanα}=-3$，
即$\frac{1+tanα}{1-tanα}=-3$，解得：tanα=2．
则sin²α-3sinαcosα+1=$\frac{2si{n}^{2}α-3sinαcosα+co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{2ta{n}^{2}α-3tanα+1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{2×{2}^{2}-3×2+1}{{2}^{2}+1}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查两角和的正切，考查了数学转化思想方法，化弦为切是解答该题的关键，是中档题．