题目内容

已知二次函数.
(1)若,试判断函数零点个数;
(2)是否存在,使同时满足以下条件
①对任意,且
②对任意,都有。若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。
(3)若对任意,试证明存在
使成立。

(1)函数有两个零点。(2)当时,同时满足条件①、②. (3)利用零点存在性定理证明即可

解析试题分析:(1) 

函数有一个零点; 3分
时,,函数有两个零点。        5分
(2)假设存在,由①知抛物线的对称轴为x=-1,
   7分
由②知对,都有
又因为恒成立, 
,即,即
,   10分
时,
其顶点为(-1,0)满足条件①,又,
都有,满足条件②.
∴存在,使同时满足条件①、②. .12分
(3)令,则



内必有一个实根。即
使成立   18分
考点:本题考查了函数的零点及恒成立问题
点评:①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,也是高考热点,要深刻理解它们相互之间的关系,能用函数思想来研究方程和不等式,便是抓住了关键.②二次函数的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.

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