题目内容
【题目】已知椭圆,过点
作直线
与椭圆交于
两点.
(1)若点平分线段
,试求直线
的方程;
(2)设与满足(1)中条件的直线平行的直线与椭圆交于
两点,
与椭圆交于点
,
与椭圆交于点
,求证:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)设,代入椭圆方程,两式相减可求得直线
的斜率,从而得直线方程;(2)设
,同时设
,下面只要证得
即可,为此由
得
,并把
坐标代入椭圆方程,变形得
,即
,同理有
, 这两式相减,并由
可证得结论.
试题解析:(1)设,则
,①
,②
①-②得,
即,
又,∴
,
故直线的方程为
,即
.
(2)设,且
,
则有,即
,
将点的坐标分别代入椭圆方程:
,①
,②
②-①得
,
易知,故约去
得
,③.
同理有,④
由④-③得,
由已知斜率为
,有
,
得,即
,即
,所以
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