题目内容
已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2,
(1)求f(1)的值.
(2)证明:对于一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t.
(3)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
答案:
解析:
解析:
解:(1)令x=y=0,得f(0)=-1,令x=y=-1,因为f(-2)=-2,所以f(-1)=-2.令x=1,y=-1,有f(0)=f(1)+f(-1),即f(1)=1. (2)令x=1,有f(y+1)=f(y)+y+2,即f(y+1)-f(y)=y+2.所以当y∈N时,有f(y+1)-f(y)>0.所以f(y+1)>f(y).由f(1)=1可知对于一切正整数y,有f(y)>0.所以当y∈N时,f(y+1)=f(y)+y+2=f(y)+1+y+1>y+1,于是对于一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t. (3)由f(y+1)-f(y)=y+2及(1)可知f(-3)=-1,f(-4)=1.下面证明当整数t≤-4时,f(t)>t. 因为t≤-4,所以-(t+2)≥2>0.由f(y+1)-f(y)=y+2,得f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0.即有f(-5)-f(-4)>0.同理f(-6)-f(-5)>0…,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0.将诸不等式相加,得f(t)>f(-4)=1>-4,因为t≤-4,所以f(t)>t.综上所述,满足条件的整数只有t=1,-2. |

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