Question

已知函数f(x)=log_ax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.

Answer 1

a的取值范围是：(1，3］∪［，1）

当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log_ax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log_a3.                                4分
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要log_a3≥1=log_aa即可，∴1＜a≤3.                                       6分
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
∴|f(x)|="-f(x).                                                        " 8分
∵f（x）=log_ax在［3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.
∴对于任意x∈［3，+∞）都有
|f(x)|=-f(x)≥-log_a3.                                                     10分
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，
只要-log_a3≥1成立即可，
∴log_a3≤-1=log_a,即≤3,∴≤a＜1.                                     12分
综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.   14分