题目内容
7.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0(a>0),q:x∈(2,3](1)若命题“若q,则p”为真,求实数a的取值范围;
(2)若p是¬q的充分条件,求实数a的取值范围.
分析 (1)若命题“若q,则p”为真,则q是p的充分条件,即可求实数a的取值范围;
(2)若p是¬q的充分条件,根据条件关系即可求实数a的取值范围.
解答 解:(1)由x2-4ax+3a2<0(a>0),得(x-a)(x-3a)<0,
则a<x<3a,
即p:x∈(a,3a),
若命题“若q,则p”为真,
即q是p的充分条件,即(2,3]⊆(a,3a),
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a>3}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a>1}\end{array}\right.$,解得1<a≤2.
(2)¬q:x∈(-∞,2]∪(3,+∞),
若p是¬q的充分条件,
则(a,3a)⊆(-∞,2]∪(3,+∞),
∵a>0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{3a≤2}\end{array}\right.$或a≥3,
解得0<a≤$\frac{2}{3}$或a≥3,
即实数a的取值范围是0<a≤$\frac{2}{3}$或a≥3.
点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,
练习册系列答案
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