题目内容
抛物线y2=4x，O为坐标原点，A，B为抛物线上两个动点，且OA⊥OB，当直线AB的倾斜角为45°时，△AOB的面积为 ．
【答案】分析：设出直线的方程与抛物线方程联立根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，然后利用配方法求得|x1-x2|，进而根据直线方程求得|y1-y2|，利用OA⊥OB垂直判断出二直线的斜率的乘积为-1求得m，代入三角形面积公式求得答案．
解答：解：设直线AB的方程为y=x-m，代入抛物线联立得x2-（2m+4）x+m2=0，则x1+x2=2m+4，x1x2=m2，
∴|x1-x2|=
∵三角形的面积为S△AOB=|
my1-
my2|=
m（|x1-x2|）=
m
；
又因为OA⊥OB，设A（x1，2
），B（x2，-2
）
所以
=-1，求的m=4，
代入上式可得S△AOB=
m
=
×4×
=8
故答案为：8
点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．
解答：解：设直线AB的方程为y=x-m，代入抛物线联立得x2-（2m+4）x+m2=0，则x1+x2=2m+4，x1x2=m2，
∴|x1-x2|=
∵三角形的面积为S△AOB=|
my1-my2|=m（|x1-x2|）=m；又因为OA⊥OB，设A（x1，2
），B（x2，-2）所以
=-1，求的m=4，代入上式可得S△AOB=
m=×4×=8故答案为：8
点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．
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过抛物线y2=4x顶点O的直线l1、l2与抛物线的另一个交点分别为A、B，l1⊥l2，OD⊥AB，垂足为D，则D点的轨迹方程为（ ）
| A、y2=x（x≠0） | ||
B、
| ||
| C、（x-2）2+y2=4（x≠0） | ||
| D、（x-2）2+y2=4 |