Question

抛物线y²=4x，O为坐标原点，A，B为抛物线上两个动点，且OA⊥OB，当直线AB的倾斜角为45°时，△AOB的面积为

 

．

Answer 1

分析：设出直线的方程与抛物线方程联立根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，然后利用配方法求得|x₁-x₂|，进而根据直线方程求得|y₁-y₂|，利用OA⊥OB垂直判断出二直线的斜率的乘积为-1求得m，代入三角形面积公式求得答案．

解答：解：设直线AB的方程为y=x-m，代入抛物线联立得x²-（2m+4）x+m²=0，则x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²，
∴|x₁-x₂|=

16m+16

∵三角形的面积为S_△AOB=|

1

2

my₁-

1

2

my₂|=

1

2

m（|x₁-x₂|）=

1

2

m

16m+16

；
又因为OA⊥OB，设A（x₁，2

x1

），B（x₂，-2

x2

）
所以

2 x1

x1

•

-2 x2

x2

=-1，求的m=4，
代入上式可得S_△AOB=

1

2

m

16m+16

=

1

2

×4×

64+16

=8

5

故答案为：8

5

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．