Question

已知函数f（x）=ax-

a

x

（a∈R），下列说法正确的是（　　）

A．?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数

B．?a∈R，f（x）在（-∞，0）上是减函数

C．?a∈R，f（x）是R上的常函数

D．?a∈R，f（x）是（0，+∞）上的单调函数

Answer 1

分析：由函数f（x）=ax-

a

x

（a∈R），知f′(x)=a+

a

x2

，x≠0．a＞0时，f′（x）＞0；a=0时，f（x）=ax-

a

x

=0；a＜0时，f′（x）＜0．由此能够求出结果．

解答：解：∵函数f（x）=ax-

a

x

（a∈R），
∴f′(x)=a+

a

x2

，x≠0．
a＞0时，f′（x）＞0，f（x）=ax-

a

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上都是增函数；
a=0时，f（x）=ax-

a

x

=0，f（x）是（-∞，0）和（0，+∞）上的常函数；
a＜0时，f′（x）＜0，f（x）是在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．
故选D．

点评：本题考查函数的导数性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．