题目内容
【题目】函数,关于
的不等式
的解集为
.
(Ⅰ)求、
的值;
(Ⅱ)设.
(i)若不等式在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(ii)若函数有三个不同的零点,求实数
的取值范围(
为自然对数的底数).
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)(i)
(ii)
【解析】
(Ⅰ)根据三个“二次”的关系可知,的两根为-1和3,再根据韦达定理即可求出;
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)中求出的解析式可将不等式化简成,,换元,
,即只需求
在
上的最小值,即可求出实数
的取值范围;
(ii)换元,令,则函数
有三个不同的零点,等价于
在
有两个零点,再根据函数与方程思想,以及二次函数的有关性质即可求出.
(Ⅰ)因为的解集为
,
即方程的两根为-1和3,
由韦达定理可知,解得
.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得:,
所以不等式在
上恒成立,
等价于在
上恒成立,
令,因为
,所以
,
则有在
恒成立,
令,
,则
,
所以,即
,所以实数
的取值范围为
.
(ii)因为,
令,由题意可知
,
令,
,
则函数有三个不同的零点,
等价于在
有两个零点,
当时,方程
,此时
,解得
或
,关于
的方程有三个零点,符合题意;
当时,记两个零点为
,
,且
,
,
,
所以,
综上实数的取值范围是
.
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