题目内容

（2013•海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．
（Ⅰ）给出下列三个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y=x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于
1
2
；
其中，所有正确结论的序号是
②③
②③
；
（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为
2-
2
2-
2
．
分析：根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．
解答：解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，
∴|x|+|y|=
(x-1)2+(y-1)2

∴|xy|+x+y-1=0
∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y-1）（1-x）=0
函数的图象如图所示
∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于
1
2
；
由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=
2
-1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为
2
(
2
-1)=2-
2

故答案为：②③；2-
2
点评：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．
练习册系列答案
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x2
a2
+
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b2
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1
2
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1 2 3 -7
-2 1 0 1
表1
（Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
a a2-1 -a -a2
2-a 1-a2 a-2 a2
表2
（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

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