题目内容

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．
（Ⅱ）令 $数学公式$ ，是否存在实数a，对任意x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）求导函数可得f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于导函数f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f′（x）在（-1，1）上存在零点，但无重根．
令f'（x）=0得x=a与x=- $\text{[math]}$ ，则-1＜a＜1或-1＜- $\text{[math]}$ ＜1，且a≠- $\text{[math]}$ ，∴-5＜a＜1且 $\text{[math]}$
综上-5＜a＜- $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜a＜1；
（Ⅱ）由题意，函数f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集
∵x∈[0，2]， $\text{[math]}$ ，∴g（x）∈[- $\text{[math]}$ ，6]；
令F（x）=f′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a
∵x∈[-1，1]，∴F（x）∈[- $\text{[math]}$ -a²-2a，5-a²-2a]
∴- $\text{[math]}$ -a²-2a≥- $\text{[math]}$ 且5-a²-2a≤6
∴-2≤a≤0
∴a∈[-2，0]
分析：（Ⅰ）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于导函数f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f′（x）在（-1，1）上存在零点，但无重根；
（Ⅱ）由题意，函数f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集，分别求出值域，再建立不等式，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的值域，将问题等价转化是关键．