题目内容

（选修4-2　矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值λ=6及对应的一个特征向量e1=
.
1
1
.
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系．
分析：（1）先设矩阵 A=
ab
cd
，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=6及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，从而求得另一个特征值为2，设矩阵M的另一个特征向量是e2=
x
y
，解得特征向量e2的坐标之间的关系．
解答：解：（1）设矩阵 A=
ab
cd
，这里a，b，c，d∈R，
则
ab
cd
1
1
=6
1
1
=
6
6
，故
a+b=6
c+d=6

ab
cd
-1
2
=
-2
4
，故
-a+2b=-2
-c+2d=4

联立以上两方程组解得a=
14
3
，b=
4
3
，c=
8
3
，d=
10
3
，故M=
14
3
8
3
4
3
10
3
．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=λ2-8λ+12，故其另一个特征值为2，
设矩阵M的另一个特征向量是e2=
x
y
，则Me2=
6x+2y
4x+4y
=2
x
y
，解得2x+y=0
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
选修4-2　矩阵与变换
已知矩阵A=
30
04
，点M（-1，-1），点N（1，1）．
（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M'N'的长度；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．
【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1　几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
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cosα-sinα
sinαcosα
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C．选修4-4　坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，
曲线C1：ρcos(θ+
π
4
)=2
2
与曲线C2：
x=4t2
y=4t
（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．选修4-5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．
选修4-2　矩阵与变换．
已知二阶矩阵M
1
0
=
1
0
，M
1
1
=
2
2
，求M2
1
-1
．
选修4-2　矩阵与变换
已知M=
1-2
-21
，α=
3
1
，试计算M20α．

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