Question

15．若函数f（x）=e^x-ax²有三个不同零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{e^2}{4}$，+∞）
• B． （$\frac{{{e^{\;}}}}{2}$，+∞）
• C． （1，$\frac{e^2}{4}$）
• D． （1，$\frac{{{e^{\;}}}}{2}$）

Answer 1

分析 可判断a＞0，作函数y=e^x与y=ax²的图象，从而转化问题为当x＞0时，两图象有两个交点，再假设两图象至多有-个交点，则e^x≥ax²恒成立，从而可得a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$，从而解得．

解答 解：当a≤0时，函数f（x）=e^x-ax²＞0恒成立，故a＞0；
作函数y=e^x与y=ax²的图象如图，
由图象可知，当x＜0时，两图象必有一个交点，
故当x＞0时，两图象有两个交点，
假设两图象至多有-个交点，则e^x≥ax²恒成立，
即a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
记F（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
故F（x）_min=F（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$；
故a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$时，两图象至多有-个交点；
故若函数f（x）=e^x-ax²有三个不同零点，则a＞$\frac{{e}^{2}}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用．