题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设 $数学公式$ =（bcosC，-1）， $数学公式$ =（（c-3a）cosB，1），且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（1）求cosB值；
（2）若 $数学公式$ =- $数学公式$ 求tanC．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ∴bcosC+（c-3a）cosB=0，（2分）
即sinBcosC+sinCcosB-3sinAcosB=0（3分）
∴sin（B+C）-3sinAcosB=0，又sin（B+C）=sinA
∴sinA（1-3cosB）=0（5分）
∵sinA≠0，∴cosB= $\text{[math]}$ ，（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （8分）
∴tanA=2，tanB=2 $\text{[math]}$ （9分）
∴tanC=-tan（A+B）=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）首先利用向量平行得出bcosC+（c-3a）cosB=0并化简，再根据sin（B+C）=sinA，能够得出sinA（1-3cosB）=0，进而得出cosB= $\text{[math]}$ ；
（2）利用诱导公式和和差公式化简已知式子，能够得出tanA=2，tanB=2 $\text{[math]}$ ，然后由正切的和差公式求出tanC．
点评：本题考查了平行向量的坐标表示以及三角函数的诱导公式和和差公式，解题过程中要灵活运用三角形的内角和等于180°，属于基础题．