Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最大值和最小值；
（3）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D．使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题设，2a=8，2a+2c=12，∴a=4，c=2，∴b²=a²-c²=12，∴椭圆的方程为；
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），设P（x，y），则=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=
∵x∈[-4，4]，∴x²∈[0，16]，∴
当且仅当点P为短轴端点时，有最小值8；点P为长轴端点时，有最大值12．
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-8）
由方程组，消元得（4k²+3）x²-64k²x+16（16k²-3）=0
∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，
∴△=64²k⁴-64（4k²+3）（16k²-3）＞0
∴
设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为T（x₀，y₀）
∴x₁+x₂=，，
∴T（）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
∴，方程无解
∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|．
分析：（1）利用|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周长为12，可得2a=8，2a+2c=12，从而可求椭圆的方程；
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），设P（x，y），则=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=，根据x∈[-4，4]，可得x²∈[0，16]，从而可求的最大值和最小值；
（3）直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-8），与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，从而可求CD的中点的坐标，利用|BC|=|BD|，可得BT⊥CD，从而可建立方程，故可解．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查探究性问题，通常假设存在，从而问题得解．