Question

若将有理数集Q分成两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割(M，N) ，下列选项中，不可能成立的是

A．M没有最大元素，N有一个最小元素	B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素	D．M有一个最大元素，N没有最小元素

Answer 1

C

有理数集是无限集合，没有最大值和最小值。而作为有理数集的任一分割(M，N)，由于M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则M不存在最小元素（若存在的话，则这个最小元素也是有理数集的最小元素，与有理数集是无限集合矛盾），同理N不存在最大元素，故B成立。
因为，所以两个必有一个为半开半闭区间一个为开区间，所以M，N不可能同时存在最大元素和最小元素，所以C不成立。
若M为半开半闭区间，N为开区间，则M存在最大元素，而N没有最小元素，此时D成立。
若M为开区间，N为半开半闭区间，则M没有最大元素，而N有最小元素，此时A成立。
综上可得，选C。