题目内容

对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x₀∈D满足f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）在D上的一个不动点．
（1）求函数 $数学公式$ 在（0，+∞）上的不动点；
（2）若函数 $数学公式$ ，在（0，+∞）上没有不动点，求实数a的取值范围．

解：（1）设函数 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上的不动点为x₀
则 $\text{[math]}$ ，且x₀∈（0，+∞）
∴x₀=1
（2）若函数 $\text{[math]}$ ，在（0，+∞）上没有不动点
则 $\text{[math]}$ 在x∈（0，+∞）没有实数解
∴x²+ax+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解
∴△=a²-4a＜0 $\text{[math]}$
∴0＜a＜4或a≥4
分析：（1）设函数 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上的不动点为x₀，代入解方程可求
（2）若函数 $\text{[math]}$ ，在（0，+∞）上没有不动点，则 $\text{[math]}$ 在x∈（0，+∞）没有实数解，即x²+ax+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解，根据一元二次方程的实根分布可求a的范围
点评：本题以新定义为载体，主要考查了一元二次方程的根的求解，及方程的根的分布，要注意方程的根与系数关系的应用．

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