Question

过圆x²+y²=2外一点P（4，2）向圆引切线．
（1）求过点P的圆的切线方程；
（2）若切点为P₁、P₂，求直线P₁P₂的方程；
（3）求P₁、P₂两点间的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，切线的斜率存在，设切线方程为 y-2=k（x-4），根据圆心到切线的距离等于半径求得k的值，即可得到切线方程．
（2）设切点P（x₁，y₁ ）、Q （x₂，y₂），则两条切线的方程可以写成为 x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2．再由4x₁+2y₁=0，4x₂+2y₂=2 可得两个切点都在直线4x+2y=2上，由此可得直线P₁P₂的方程．
（3）求出圆心（0，0）到直线P₁P₂的距离d，利用弦长公式求得P₁、P₂两点间的距离．

解答：解：（1）由题意可得，切线的斜率存在，设切线方程为 y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0，
则圆心O（0，0）到切线的距离

|2-4k|

k2+1

=

2

=半径r，解得k=1，或k=

1

7

，
故切线的方程为 x-y-2=0，或 x-7y+10=0．
（2）设切点P（x₁，y₁ ）、Q （x₂，y₂），则两条切线的方程可以写成为 x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2．
再由点（4，2）为两条切线的交点，故有4x₁+2y₁=0，4x₂+2y₂=2．
故两个切点都在直线4x+2y=2上，故直线P₁P₂的方程为 2x+y-1=0．
（3）由于圆心（0，0）到直线P₁P₂的距离d=

|0+0-1|

4+1

=

5

5

，半径等于

2

，
故弦长等于2

r2-d2

=2

2- 1 5

=

6 5

5

，
即P₁、P₂两点间的距离为

6 5

5

．

点评：本题主要考查求圆的切线方程，点到直线的距离公式以及弦长公式的应用，属于中档题．