题目内容

10.方程$\frac{sin2x}{cosx}$=$\frac{cos2x}{sinx}$的解集是{x|x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$,k∈Z,$\frac{k}{3}$余数不等于1}.

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简已知可得cos3x=0,由余弦函数的图象和性质即可得解.

解答 解:∵$\frac{sin2x}{cosx}$=$\frac{cos2x}{sinx}$,
∴sin2xsinx=cos2xcosx,
∴cos2xcosx-sin2xsinx=0,
即 cos(2x+x)=0,
即 cos3x=0,
∴3x=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
即 x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
∵sinx和cosx都不等于0,
∴x不等于$\frac{kπ}{2}$,
∵k=1,x=$\frac{π}{2}$,
k=4,x=$\frac{3π}{2}$,
…都不符合题意,
∴x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$,$\frac{k}{3}$余数不等于1,
∴方程的解集是{x|x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$,k∈Z,$\frac{k}{3}$余数不等于1}.
故答案为:{x|x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$,k∈Z,$\frac{k}{3}$余数不等于1}.

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,余弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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