题目内容

已知△ABC的周长为6， $数学公式$ 成等比数列，求△ABC的面积S的最大值

A.
$数学公式$
B.
2
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：设出三向量的模分别为a，b及c，根据周长为6列出关于a+b+c=6，再由a，b及c成等边数列，根据等比数列的性质得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入，并利用基本不等式求出cosB的最小值，根据余弦函数的图象得到B的范围，同时由b= $\text{[math]}$ 及基本不等式列出关于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范围，根据三角形的两边之差小于第三边列出不等式，由三角形的周长及b²=ac，得到关于b的一元二次不等式，求出不等式的解集可得b的范围，由a，b及sinB，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ac化为b²后，根据b的最大值及B度数的最大值，得到S的最大值即可．
解答：依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac，
由余弦定理得：cosB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴0＜B≤ $\text{[math]}$ ，
又b= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而0＜b≤2，
∵△ABC三边依次为a，b，c，则a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，b＞ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜b≤2，
∴S= $\text{[math]}$ acsinB= $\text{[math]}$ b²•sinB≤ $\text{[math]}$ •2²•sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则S的最大值为 $\text{[math]}$ ．
故选C
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有等比数列的性质，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，以及二次函数最值的求法，其中根据余弦定理，等比数列的性质及不等式的解法得出B及b的范围是解本题的关键．