Question

4．已知x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）=-cos²x-2sinx-3的值域．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的定义域和值域可得sinx∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，再利用二次函数的性质求得 f（x）=（sinx-1）²-5的值域．

解答 解：由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，可得sinx∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
∵f（x）=-cos²x-2sinx-3=sin²x-2sinx-4=（sinx-1）²-5，
故当sinx=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值为-$\frac{11}{4}$，当sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，f（x）取得最小值为-$\frac{13}{4}$-$\sqrt{3}$，
故函数的值域为[-$\frac{13}{4}$-$\sqrt{3}$，-$\frac{11}{4}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．