题目内容
【题目】已知函数f(x)=|x﹣2|﹣t,t∈R,g(x)=|x+3|.
(1)x∈R,有f(x)≥g(x),求实数t的取值范围;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为[1,3],正数a、b满足ab﹣2a﹣b=2t﹣2,求a+2b的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由条件可知,当x∈R时,恒成立,因此只需
,然后利用绝对值三角不等式可求出
的小值即可.
(2)根据不等式f(x)≤0的解集为[1,3],求出t的值,然后将t代入中,得到关于
,
的方程,再利用基本不等式求出
的最小值即可.
解:(1)因为x∈R,有f(x)≥g(x),所以在x∈R时恒成立,
即在x∈R时恒成立,所以只需
因为,所以
,
所以,
所以t的取值范围为.
(2)由,得
,
因为不等式的解集为
,
,所以
,解得
.
将带入
中,得
,所以
,
所以,当且仅当
时取等号,
所以的最小值为9.
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