题目内容

在△ABC中,E,F分别是边AC,AB的中点,且3AB=2AC,若
BE
CF
<t
恒成立,则t的最小值为
7
8
7
8
分析:要求t的最小值,即要求BE与CF比值的最大值,由AB与AC的关系,用AB表示出AC,在△ABE中,由余弦定理表示BE2,在△ACF中,利用余弦定理表示出CF2,并表示出BE与CF的平方比,分离出常数,由A为三角形的内角,得到A的范围,表示比值求出最大值,即可得到t的取值范围.
解答:解:根据题意画出图形,如图所示:

∵3AB=2AC,
∴AC=
3
2
AB,
又E、F分别为AC、AB的中点,
∴AE=
1
2
AC,AF=
1
2
AB,
∴在△ABE中,由余弦定理得:BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+(
3
4
AB)2-2AB•
3
4
AB•cosA=
25
16
AB2-
3
2
AB2cosA,
在△ACF中,由余弦定理得:CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=(
1
2
AB)2+(
3
2
AB)2-2•
1
2
AB•
3
2
AB•cosA=
5
2
AB2-
3
2
AB2cosA,
BE2
CF2
=
25
16
AB2-
3
2
AB2cosA
5
2
AB2-
3
2
AB2cosA
=
25
16
-
3cosA
2
5-3cosA
2

BE
CF
=
25
16
-
3
2
cosA
5
2
-
3cosA
2
=
1-
15
40-24cosA

∵当cosA取最小值时,
BE
CF
比值最大,
∴当A→π时,cosA→-1,此时
BE
CF
达到最大值,最大值为
1-
15
40+24
=
7
8

BE
CF
<t恒成立,t的最小值为
7
8

故答案为:
7
8
点评:此题考查了余弦定理,余弦函数的定义域与值域,以及不等式恒成立时满足的条件,余弦定理建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键
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