题目内容
在△ABC中，E，F分别是边AC，AB的中点，且3AB=2AC，若
＜t恒成立，则t的最小值为
．
| BE |
| CF |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
分析：要求t的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，由AB与AC的关系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE2，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF2，并表示出BE与CF的平方比，分离出常数，由A为三角形的内角，得到A的范围，表示比值求出最大值，即可得到t的取值范围．
解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
∵3AB=2AC，
∴AC=
AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，
∴AE=
AC，AF=
AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+（
AB）2-2AB•
AB•cosA=
AB2-
AB2cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=（
AB）2+（
AB）2-2•
AB•
AB•cosA=
AB2-
AB2cosA，
∴
=
=
∴
=
=
∵当cosA取最小值时，
比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时
达到最大值，最大值为
=
则
＜t恒成立，t的最小值为
故答案为：
∵3AB=2AC，
∴AC=
| 3 |
| 2 |
又E、F分别为AC、AB的中点，
∴AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+（
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 25 |
| 16 |
| 3 |
| 2 |
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| BE2 |
| CF2 |
| ||||
|
| ||||
|
∴
| BE |
| CF |
|
1-
|
∵当cosA取最小值时，
| BE |
| CF |
∴当A→π时，cosA→-1，此时
| BE |
| CF |
1-
|
| 7 |
| 8 |
则
| BE |
| CF |
| 7 |
| 8 |
故答案为：
| 7 |
| 8 |
点评：此题考查了余弦定理，余弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立时满足的条件，余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键
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