Question

如图，正方形ABCD的边长为1，分别作边AB，BC，CD，DA上的三等分点A₁，B₁，C₁，D₁，得正方形A₁B₁C₁D₁，再分别取A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁，D₁A₁上的三等分点A₂，B₂，C₂，D₂，得正方形A₂B₂C₂D₂，如此继续下去，得正方形A₃B₃C₃D₃…，记正方形A_nB_nC_nD_n的面积为a_n，则数列{a_n}的前n项的和S_n=

 

．

Answer 1

分析：根据题意知：a1=

5

9

，a2= (

5

9

)2，a3 = (

5

9

)3，故根据归纳得到：an=(

5

9

)n，再根据等比数列求和公式即可

解答：解：根据题意知：a1=

5

9

，a2= (

5

9

)2，a3 = (

5

9

)3
∴an=(

5

9

)n，（n∈z⁺）
∴sn=

5

4

[1-(

5

9

)n]
故答案为：

5

4

[1-(

5

9

)n]

点评：本题考查了等比数列的求和，勾股定理及矩形面积公式，属于基础题．