题目内容

已知抛物线L的方程为x²=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦长为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直角三角形ABC的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点B的横坐标为1，过点A、C分别作抛物线L的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[3，4]上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC的方程；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）解：由 $\text{[math]}$ 解得A（0，0），B（2p，2p）…2分
∴ $\text{[math]}$ =AB= $\text{[math]}$ ，
∴p= $\text{[math]}$ …5分
（Ⅱ）解：B（1，1），设A（ $\text{[math]}$ ），C（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =x₁+x₂，
设BC的斜率为k，则 $\text{[math]}$ ?x²-kx+k-1=0，
△=k²-4k+4≥0，
又1+x₂=k?x₂=k-1，C（k-1，（k-1）²）， $\text{[math]}$ ，
k_AC=x₁+x₂=k- $\text{[math]}$ -2，
直线AC的方程为y-（k-1）²=（k- $\text{[math]}$ -2）[x-（k-1）]，
令x=0，y=k- $\text{[math]}$ ，所以E（0，k- $\text{[math]}$ ），
AD：y- $\text{[math]}$ =2x₁（x-x₁）?y=2x₁x- $\text{[math]}$ ，
同理CD：y=2x₂x- $\text{[math]}$ ，
联立两方程得D（ $\text{[math]}$ （k- $\text{[math]}$ -2）， $\text{[math]}$ ），
k_ED= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-4 $\text{[math]}$ ，
令u= $\text{[math]}$ -k，在[3，4]递减，所以，当k=3时，k_ED最大为 $\text{[math]}$ ，
所以，BC的方程为y-1=4（x-1）即4x-y-3=0…12分
分析：（Ⅰ）联立方程组，利用弦长公式，直接求出p的值；
（Ⅱ）设A（ $\text{[math]}$ ），C（ $\text{[math]}$ ），设BC的斜率为k， $\text{[math]}$ ，求出k_AC，得到直线AC的方程，求出ED的斜率，利用函数的单调性求出斜率AD的最大值，求出BC的方程．
点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线方程的综合问题，设而不求的思想，韦达定理的应用，函数的单调性等知识，考查计算能力转化思想的应用．