Question

P为双曲线x²-

y2

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=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）²+y²=4和（x-4）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为

 

．

Answer 1

分析：先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最大值．

解答：解：双曲线的两个焦点为F₁（-4，0）、F₂（4，0），为两个圆的圆心，半径分别为r₁=2，r₂=1，
|PM|_max=|PF₁|+2，|PN|_min=|PF₂|-1，
故|PM|-|PN|的最大值为（|PF₁|+2）-（|PF₂|-1）=|PF₁|-|PF₂|+3=5．
故答案为：5．

点评：本题主要考查双曲线的几何性质以及平面几何等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．