Question

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-

1

3

，则动点P的轨迹方程为

x2

3

+y2=1

．

Answer 1

分析：根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，再结合余弦定理、基本不等式，即可求出椭圆中的a，b的值．

解答：解：（1）∵x²-y²=1，∴c=

2

．设|PF₁|+|PF₂|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2

2

，∴a＞

2

由余弦定理有cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

2a2-4

|PF1||PF2|

-1
∵|PF₁||PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，
∴当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．
此时cos∠F₁PF₂取得最小值为

2a2-4

a2

-1，
由题意

2a2-4

a2

-1=-

1

3

，解得a²=3，
∴b²=a²-c²=3-2=1
∴P点的轨迹方程为

x2

3

+y2=1．
故答案为：

x2

3

+y2=1

点评：本题考查了求轨迹方程，考查余弦定理、基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．