Question

设f（x）=4x²-4（a+1）x+3a+3（a∈R），若f（x）=0有两个均小于2的不同的实数根，则此时关于x的不等式（a+1）x²-ax+a-1＜0是否对一切实数x都成立？请说明理由．

Answer 1

分析：先利用对称轴小于2，以及方程有两个不等实数根，结合二次函数的性质先求a的范围，再根据a的范围对不等式的恒成立问题，就转化二次函数解决即可．

解答：解：由题意得

△=16(a+1)2-16(3a+3)＞0 a+1 2 ＜2 f(2)=16-8(a+1)+3a+3＞0

得2＜a＜

11

5

或a＜-1；
若（a+1）x²-ax+a-1＜0对任意实数x都成立，则有：
①若a+1=0，即a=-1，则不等式化为x+2＞0不合题意
②若a+1≠0，则有

a+1＜0 a2-4(a+1)(a-1)＜0

得a＜-

2 3

3

综上可知，只有在a＜-

2 3

3

时，（a+1）x²-ax+a-1＜0才对任意实数x都成立．
∴这时（a+1）x²-ax+a-1＜0不对任意实数x都成立

点评：本题考查函数与方程之间的关系，根的分布，以及函数恒成立问题，解决的关键是转化思想．