Question

设f（x）=4x²-1，g（x）=-2x+1
（1）若关于x的方程f（2^x）=2^g（x）+m有负实数根，求m的取值范围；
（2）若F（x）=af（x）+bg（x）（a，b都为常数，且a＞0）
①证明：当0≤x≤1时，F（x）的最大值是|2a-b|+a；
②求证：当0≤x≤1时，F（x）+|2a-b|+a≥0．

Answer 1

分析：（1）x＜0，设2^x=t，则t∈（0，1），m=4t2-

2

t2

-1，问题转化为求4t2-

2

t2

-1值域，由此可解；
（2）F（x）=4ax²-2bx+b-a的对称轴x=

b

4a

，①分两种情况讨论：当

b

4a

≤

1

2

时，当

b

4a

＞

1

2

时，；
②即求证F（x）_min+|2a-b|+a≥0，按

b

4a

≤0、0＜

b

4a

＜1、

b

4a

≥1三种情况讨论求出F（x）_min即可；

解答：解：（1）当x＜0时，设2^x=t，则t∈（0，1），m=4t2-

2

t2

-1，
∵4t2-

2

t2

＜2，∴m＜1．
故m的取值范围为（-∞，1）．
（2）证明：F（x）=4ax²-2bx+b-a，对称轴x=

b

4a

，
①当

b

4a

≤

1

2

即2a≥b时，F（x）_max=F（1）=3a-b，
当

b

4a

＞

1

2

即2a＜b时，F（x）_max=F（0）=b-a，
故F(x)max=

3a-b(2a≥b) b-a(2a＜b)

=|2a-b|+a；
②即求证F（x）_min+|2a-b|+a≥0，F(x)=4a(x-

b

4a

)2+

-(2a-b)2

4a

，
当

b

4a

≤0即b≤0时，F（x）_min+|2a-b|+a=F（0）+2a-b+a=2a＞0，
当0＜

b

4a

＜1即0＜b＜4a时，F（x）_min+|2a-b|+a=F（

b

4a

）+|2a-b|+a=

8a2-b2 4a ，(0＜b≤2a) -8a2+8ab-b2 4a ，(2a＜b＜4a)

，
∴F（x）_min+|2a-b|+a＞0，
当

b

4a

≥1即b≥4a时，F（x）_min+|2a-b|+a=F（1）+b-a=2a＞0，
综上，当0≤x≤1时，F（x）+|2a-b|+a≥0．

点评：本题考查函数恒成立问题及二次函数最值问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．