Question

13．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（-∞，0）
（1）判断f（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间[-2，0）上的单调性，并加以证明；
（2）若函数h（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+4}{x}$在x∈[-2，-1]上有h（x）≥0恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）利用定义法判断函数单调性：设任意的x₁，x₂∈[-2，0），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（4-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$（x₂-x₁）≥0，得出结论；
（2）把不等式整理为h（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+4}{x}$=x-a+$\frac{4}{x}$≥0恒成立，转换为最值问题，进而求出a的范围．

解答 函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间[-2，0）上的单调递减．
证明：（1）设任意的x₁，x₂∈[-2，0），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（4-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$（x₂-x₁）≥0
∴函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间[-2，0）上的单调递减；
（2）h（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+4}{x}$=x-a+$\frac{4}{x}$≥0恒成立，
∴x+$\frac{4}{x}$≥a恒成立，
由（1）知，f（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间[-2，0）上的单调递减．
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥f（-1）=-5
∴a≤-5．

点评 考查了函数单调性的判断方法和恒成立问题的转换．属于常考题型，应熟练掌握．