题目内容
2.已知数列{an}中,a1=2,an=an-1+2n(n∈N*,n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和Sn.
分析 (1)由已知得an-an-1=2n,由此利用累加法能求出数列{an}的通项公式.
(2)由an=n(n+1),得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.由此利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和.
解答 解:(1)∵数列{an}中,a1=2,an=an-1+2n(n∈N*,n≥2),
∴an-an-1=2n,
∴当n≥2时,an=a1+a2-a1+a3-a2+…+an-an-1
=2+4+6+…+2n
=$\frac{n(2+2n)}{2}$
=n(n+1),
当n=1时,上式成立,
∴an=n(n+1).
(2)∵an=n(n+1),∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和:
Sn=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$.
点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意累加法和裂项求和法的合理运用.
练习册系列答案
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